Na een natuurkundecollege aan de Universiteit van Amsterdam werd me gevraagd welke ik de mooiste formule vond. Niet moeilijk:
L = -jmAm
De Lagrangedichtheid van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld. In minder technische taal: de mate waarin een elektrisch of magnetisch veld trekt aan een geladen deeltje, bijvoorbeeld een elektron. Deze formule is mooi vanwege de kromme L, maar ook vanwege de index µ, die loopt van 1 tot 4: de 4 dimensies van ruimte-tijd. Erg mooi is de formule vanwege de ene µ boven en de andere beneden. Dit heeft een precieze betekenis: bij conventie wordt er gesommeerd over de herhaalde index µ, maar de hoge en de lage positie geven aan dat hier de metriek van ruimte-tijd zoals die door Einstein is ontdekt van toepassing is: de vierde component van het product krijgt een minteken. Dit minteken vertegenwoordigt de hele essentie van de relativiteitstheorie. De kwantummechanica zit verscholen in j, de stroom opgebouwd uit de ‘waarschijnlijkheidsamplitudes’ die de beweging van het elektron beschrijven. Aµ staat voor het elektromagnetische veld waardoor het ‘stroomdeeltje’ zich beweegt.
Ook mooi vind ik de diepe, historische dimensie die bovenstaande formule heeft. Lagrange herformuleerde in de 18e eeuw de mechanica van Newton door gebruik te maken van variatierekening, een wiskundige techniek. In de 20e eeuw bleek deze techniek essentieel voor het formuleren van de kwantummechanische variant van de elektrodynamica.
Ook prachtig vind ik de formule:
p = 0.3 eBR
In een magneetveld B beschrijft een deeltje met lading e een cirkelbaan met straal R. De impuls van dit deeltje is p. (De impuls is de snelheid van een deeltje, vermenigvuldigd met de massa.) De formule volgt uit de Lorentzkracht, ze heeft dus een sterk Nederlandse signatuur! Een geladen deeltje dat door een magneetveld beweegt voelt een kracht loodrecht op de bewegingsrichting. Zo’n kracht, de Lorentzkracht, geeft aanleiding tot een cirkelbaan. De formule laat zien dat grote, cirkelvormige deeltjesversnellers (grote R) met sterke magneetvelden (grote B) het mogelijk maken deeltjes te versnellen tot hoge energie (grote p).
We kunnen de formule ook gebruiken om te schatten hoe de kosten van een deeltjesversneller stijgen met de maximale energie van de versnelde deeltjes. (Voor hoge energie zijn impuls p en energie E ongeveer gelijk.) Grotere R geeft een navenant grotere energie. Grotere R betekent een langere en navenant duurdere tunnel. De kosten zijn dus evenredig met de energie.
De formule is exact, maar de uitspraak over de energieafhankelijkheid van de kosten is maar ten dele waar, omdat de kosten niet uitsluitend door de lengte van de tunnel bepaald worden. Maar de formule geeft een aardige indicatie.
Een vooraanstaande Nederlandse bestuurder en econoom zei laatst grappend tegen me: ‘Met de economie is het de verkeerde kant op gegaan sinds iedereen jullie, fysici, ging nadoen en alles in formules moest worden gevat’. Het was een grap, maar met een serieuze ondertoon. Formules in de economie zijn handig, maar het functioneren van de economie is niet exact in formules te vatten. De eurocrisis is overigens geen gevolg van fout toegepaste formules maar van onverantwoord bestuur door zwakke politici. Ze zijn misschien wel een beetje geholpen doordat degenen die daar belang bij hadden de werkelijkheid een tijdje aan het oog konden onttrekken door haar te verbergen in ingewikkelde formules. Maar die werkelijkheid is heel eenvoudig: als A je inkomen is en B zijn je uitgaven dan heb je een probleem als A-B negatief is. In formulevorm:
$ P ¬ A-B < 0.
Niet de mooiste formule, maar de lelijkste...
Jos Engelen
19 oktober 2011
Geen opmerkingen:
Een reactie posten